পয়সনের অনুপাতের সমীকরণ নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যাঃ পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio) হলো একটি স্থিতিস্থাপক ধ্রুবক যা কোনো উপাদানের অক্ষীয় পীড়নের (axial stress) কারণে সৃষ্ট পার্শ্বীয় বিকৃতি (transverse strain) এবং দৈর্ঘ্য বিকৃতির (axial or longitudinal strain) অনুপাতকে নির্দেশ করে। যখন একটি বস্তুকে তার দৈর্ঘ্যের দিকে টানা হয়, তখন তার দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায় কিন্তু প্রস্থ বা ব্যাস হ্রাস পায়। পয়সনের অনুপাত এই ব্যাস হ্রাস এবং দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির মাত্রার সম্পর্ক স্থাপন করে। গাণিতিকভাবে, পয়সনের অনুপাত (\(\sigma\)) এর সমীকরণ হলো: \[ \sigma = \frac{\text{পার্শ্বীয় বিকৃতি}}{\text{দৈর্ঘ্য বিকৃতি}} \] এখানে, ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করা হয় কারণ দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেলে ব্যাস হ্রাস পায় (একটি ধনাত্মক অন্যটি ঋণাত্মক), কিন্তু সাধারণত অনুপাতটিকে ধনাত্মক ধরা হয়। আমরা জানি:

    
• পার্শ্বীয় বিকৃতি (\(\epsilon_t\)) \( = \frac{\text{ব্যাসের পরিবর্তন}}{\text{আদি ব্যাস}} \)
    
• দৈর্ঘ্য বিকৃতি (\(\epsilon_a\)) \( = \frac{\text{দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন}}{\text{আদি দৈর্ঘ্য}} \)

যদি,

    
• ব্যাসের পরিবর্তন = \(d\)
    
• আদি ব্যাস = \(D\)
    
• দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন = \(L\)
    
• আদি দৈর্ঘ্য = \(l\)

(লক্ষ্য করুন: এখানে প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি বিশেষ পরিবর্তনশীল প্রতীকীকরণ ব্যবহার করা হয়েছে, যেখানে 'L' দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন এবং 'l' আদি দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে, যা প্রচলিত প্রতীকের থেকে ভিন্ন হতে পারে।) তাহলে, পার্শ্বীয় বিকৃতি \( = \frac{d}{D} \) দৈর্ঘ্য বিকৃতি \( = \frac{L}{l} \) অতএব, পয়সনের অনুপাত (\(\sigma\)) হবে: \[ \sigma = \frac{d/D}{L/l} = \frac{d \cdot l}{D \cdot L} \] এই সমীকরণটি প্রদত্ত অপশন ৩ এর সাথে মিলে যায়: $\sigma =\frac{dl}{LD}$। অর্থাৎ, প্রশ্নটিতে পরিবর্তনশীল প্রতীকগুলো (variable symbols) নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

    
• \(d\) = ব্যাসের পরিবর্তন (Change in Diameter)
    
• \(D\) = আদি ব্যাস (Original Diameter)
    
• \(l\) = আদি দৈর্ঘ্য (Original Length)
    
• \(L\) = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন (Change in Length)

এই নির্দিষ্ট প্রতীকীকরণ অনুযায়ী, অপশন ৩ হলো পয়সনের অনুপাতের সঠিক সমীকরণ।